Introducción, mecánica cuántica y dificultades.
El desarrollo de la dinámica no lineal y de la teoría del caos ha conducido a la investigación de sus posibles aplicaciones en diversos ámbitos, como son la ecología, la química o la medicina, y a la búsqueda de comportamientos similares en otros campos, como en el caso que nos ocupa: la mecánica cuántica. Sin embargo, muchas de estas aplicaciones están aún por demostrar, y las investigaciones sobre caos cuántico están lejos de ser definitivas.
Estudiar la relación entre la dinámica no lineal y la mecánica cuántica no es sencillo. Básicamente, lo que tratamos de hacer es buscar algún tipo de analogía cuántica del comportamiento caótico de un sistema clásico (mecánica newtoniana) equivalente, es decir, dado un sistema sometido a las leyes de la mecánica clásica o newtoniana que presenta un comportamiento caótico nos preguntamos si existe un comportamiento análogo en los sistemas regidos por la mecánica cuántica.
La respuesta no es sencilla por diversas razones. Una de ellas es que la mecánica cuántica no nos permite calcular justamente aquellas características del comportamiento del sistema en las cuales se basan nuestras nociones clásicas del caos: las trayectorias del sistema en el espacio de fases. Esto es debido a que en la mecánica cuántica no es posible asignar una posición y un momento bien definidos a una partícula, sino que éstos se encontrarán en una región del espacio de fases (cuyo tamaño mínimo está dado por la constante de Planck, concretamente el área mínima será: h/4π) formando un conjunto inicial de posibles momentos y posiciones. Por tanto no es posible hablar de trayectorias y lo único que podemos hacer es predecir las probabilidades de evolución de esta región haciendo uso de la función de onda de Schrödinger. Al hacer estas predicciones, las soluciones de la función de onda nos indican que sólo ciertos valores discretos de energía están permitidos, por lo tanto el sistema está restringido a una región finita del espacio.
En definitiva, tenemos que utilizar características propias de la mecánica cuántica para saber cuando existe un comportamiento caótico, y este es el mayor problema: aún no hay consenso sobre cuáles tendrían que ser estas características. Sin embargo la creencia general entre los mecánicos cuánticos es que las predicciones de la mecánica cuántica deberían estar de acuerdo con las de la mecánica clásica, dentro de un límite (principio de correspondencia), así que si la mecánica cuántica no describe un comportamiento caótico no se puede explicar que sí ocurra en la mecánica clásica, es decir, si no existiera el caos cuántico la mecánica cuántica sería una teoría incompleta.
Otra razón, basada en lo anterior, es que como la mecánica cuántica es una teoría lineal y los sistemas caóticos requieren no linealidad y además carecer de soluciones analíticas, no podría existir caos cuántico, hecho que sirve como argumento para algunos científicos para rechazarlo. Dicho de otra manera, en mecánica cuántica no existe dependencia altamente sensible a las condiciones iniciales, característica de una dinámica caótica (aunque hay estudios que hablan sobre dependencia extrema a pequeños cambios en el Hamiltoniano).
Así que la búsqueda de caos cuántico se ha focalizado en los sistemas que, bajo las condiciones adecuadas, muestran un comportamiento semi-clásico. Este tipo de comportamiento se da en sistemas cuánticos cuyo comportamiento empieza a parecerse al de su correspondiente modelo clásico. Concretamente, cuando existen combinaciones lineales de autofunciones de energía localizadas en el espacio y con “trayectorias” similares a las trayectorias del modelo clásico correspondiente. Bajo estas circunstancias las predicciones de ambos modelos, el clásico y el cuántico, coinciden.
Explorando otros aspectos de la dinámica
Debido a las dificultades antes descritas, nos centraremos brevemente en las conclusiones extraídas de otros aspectos de la dinámica.
Entre los argumentos que concluyen que no es posible el caos cuántico está el que afirma que para un sistema cerrado no hay posibilidad de que haya comportamiento caótico dependiente del tiempo si el Hamiltoniano es independiente del tiempo. Esto se debe a que, como los autovalores de energía toman solo valores discretos, la dependencia temporal de cualquier función de onda podrá ser como mucho cuasi-periódica. Incluso la función de distribución de Wigner, que nos indica la distribución de probabilidad en el espacio de fases, al ser lineal no muestra dependencia sensible a las condiciones iniciales. Esta conclusión se repite si extendemos los modelos incluyendo interacciones con el ambiente del sistema, donde los autovalores discretos de energía son reemplazados por una distribución continua de valores de energía. Tampoco sería posible el caos cuántico desde de punto de vista de la reversibilidad del sistema, ya que un sistema cuántico puede ser integrado hacia atrás hasta llegar a su punto inicial, hecho que no ocurre en el modelo clásico debido a la existencia de un exponente de Lyapunov positivo. Además, atendiendo a las trayectorias en el espacio de fases, se puede concluir que un sistema cuántico es menos estocástico que su equivalente clásico, ya que sus “trayectorias” permanecen confinadas en el remanente del toroide KAM, al contrario que el sistema clásico.
Como parece que no es posible el caos cuántico atendiendo a la dependencia caótica temporal del sistema, nos fijamos en si hay algún cambio cualitativo significativo en las predicciones del modelo cuántico cuando el modelo clásico predice caos. Parece que, cuando el movimiento en el sistema clásico es regular, el espaciado de niveles de energía puede ser descrito por una distribución de Poisson, y cuando es caótico, correspondería a una distribución tipo Wigner, pero no es una conclusión definitiva y solo se puede confirmar para ciertos sistemas.
Por otro lado, si buscamos correlaciones espaciales de las funciones de onda para sistemas cuánticos cuando sus análogos clásicos muestran comportamiento caótico, encontramos que en estos casos la distribución de probabilidad en el espacio de fases asociada a este comportamiento se vuelve “puntiaguda”, reflejando la geometría fractal del atractor del espacio de estados. Estas autofunciones irregulares pueden ser caracterizadas por dimensiones fractales. Sin embargo, esta correlación espacial es necesaria, pero no suficiente para poder hablar de caos cuántico.
En definitiva, parece que la búsqueda del caos cuántico aún está sin concluir, y que desde cualquier enfoque encontramos dificultades que lo desmienten o teorías incompletas y aún por demostrar. Sin embargo, en los últimos años algunos experimentos lo han demostrado aplicándolo a la ionización de átomos de rubidio y se sigue investigando en el límite del caos semi-clásico mediante herramientas como la fórmula de la traza de Gutzwiller o la aplicación de la teoría de matrices aleatorias.
Bibliografía
· R. C. Hilborn, Chaos and Nonlinear Dynamics,
· R. A. Molina Fernández, Caos cuántico en sistemas hamiltonianos de muchos cuerpos (Tesis doctoral), 2002, http://www.ucm.es/BUCM/tesis/fis/ucm-t25481.pdf [Consulta: viernes, 16 de enero de 2009]
· Ott. Edward, Chaos in dynamical systems, Cambridge University Press, 2002.
· Neofronteras, Demostrado experimentalmente el caos cuántico, 2005, http://neofronteras.com/?p=305 [Consulta: viernes, 16 de enero de 2009].
